Determine a derivada em cada caso:
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
. O que precisamos aqui é calcular a derivada dessa função. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função inversa da tangente hiperbólica, ou seja,
. A derivada dessa função é:
Isso significa que, para derivar
em relação a
, usamos essa fórmula direta.
Passo 3
Agora, observe que nossa função
é composta. Temos
, ou seja,
com
sendo uma função de
. Por isso, precisamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que são compostas de outras funções.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Essa é uma derivada simples, já que
é uma função linear de
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Substituímos as derivadas que encontramos nos passos anteriores.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão:
Simplificando a fração:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: