Determine a derivada em cada caso: y = tgh^(-1)(x/2)

Passo 1

Beleza, a gente tem a função . O que precisamos aqui é calcular a derivada dessa função. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função inversa da tangente hiperbólica, ou seja, . A derivada dessa função é:
Isso significa que, para derivar em relação a , usamos essa fórmula direta.

Passo 3

Agora, observe que nossa função é composta. Temos , ou seja, com sendo uma função de . Por isso, precisamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que são compostas de outras funções.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Essa é uma derivada simples, já que é uma função linear de .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Substituímos as derivadas que encontramos nos passos anteriores.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão:
Simplificando a fração:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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