Determine a derivada em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada da função . Isso é um problema de cálculo diferencial, especificamente envolvendo a regra da cadeia e a derivada de um quociente. Vamos precisar lembrar como aplicar essas regras para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra da cadeia. Temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos chamar:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
A regra da cadeia nos diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa . Usando a regra do poder, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna . Para isso, usamos a regra do quociente, que é:
Onde:
  • então
  • então
Aplicando a regra:

Passo 5

Agora, combinamos as derivadas usando a regra da cadeia:
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função é:

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Utilize a derivação logarítmica nos casos que seguem:
Sejam e , com e e . Calcular: