Utilize a derivação logarítmica nos casos que seguem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função bem complicada aqui:
. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada dessa função usando a derivação logarítmica. Isso porque a função é um quociente de funções elevadas a potências, e a derivação logarítmica simplifica bastante esse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos tirar o logaritmo dos dois lados da equação para facilitar a derivação. Usamos o logaritmo natural, então temos:
Passo 3
Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para separar essa expressão. A gente sabe que
e que
. Aplicando isso:
Passo 4
Em seguida, vamos simplificar usando que
:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
:
Passo 6
Simplificando cada termo:
Passo 7
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada em cada caso:
Determine a derivada em cada caso:
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular:
Sejam
e
, com
e
e
. Calcular: