Utilize a derivação logarítmica nos casos que seguem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função bem complicada aqui: . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada dessa função usando a derivação logarítmica. Isso porque a função é um quociente de funções elevadas a potências, e a derivação logarítmica simplifica bastante esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar o logaritmo dos dois lados da equação para facilitar a derivação. Usamos o logaritmo natural, então temos:

Passo 3

Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para separar essa expressão. A gente sabe que e que . Aplicando isso:

Passo 4

Em seguida, vamos simplificar usando que :

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é :

Passo 6

Simplificando cada termo:

Passo 7

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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