Determine a derivada de cada função.
f(x)=(x^2-2)/(3x)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função . Vamos usar as regras de derivação de funções racionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função. Ela está na forma de uma fração onde o numerador é e o denominador é . Para derivar uma função desse tipo, a gente usa a regra do quociente.

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é dada por:
Então, vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos calcular . Como , a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo esses valores na regra do quociente, temos:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 8

O denominador é .

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por 3:

Resposta

A derivada da função é .

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