Determine a derivada de cada função a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções compostas, como a arctan e o polinômio dentro dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
Aqui, temos a função arco-tangente (
) aplicada a uma expressão quadrática (
).
Passo 3
Agora, vamos lembrar da derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
Isso significa que, se tivermos uma função dentro da arctan, precisamos derivar essa função interna (
) e dividir pelo quadrado de
mais 1.
Passo 4
No nosso caso, a função interna
é:
Vamos derivar
em relação a
:
Então, a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia na nossa função original:
Simplificando um pouquinho, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função
é:
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Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações: