Determine a derivada de cada função a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções compostas, como a arctan e o polinômio dentro dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
Aqui, temos a função arco-tangente ( ) aplicada a uma expressão quadrática ( ).

Passo 3

Agora, vamos lembrar da derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
Isso significa que, se tivermos uma função dentro da arctan, precisamos derivar essa função interna ( ) e dividir pelo quadrado de mais 1.

Passo 4

No nosso caso, a função interna é:
Vamos derivar em relação a :
Então, a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia na nossa função original:
Simplificando um pouquinho, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações: