Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
(x+y)^{2}=4-x^{2}+x*y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função implícita definida pela equação . Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que são usadas quando y está definido de forma implícita em relação a x, ou seja, y não está isolado. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar que y é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação para facilitar a diferenciação:
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 3

Agora, vamos organizar todos os termos em um lado da equação para igualar a zero:
Simplificando:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se de que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, precisamos aplicar a regra da cadeia (derivada de y em relação a x, que é y’).
Derivando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usando a regra do produto).
  • A derivada de é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de é 0.
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para , que é a derivada que queremos encontrar. Primeiro, vamos juntar os termos com :
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função implícita é .

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