Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função implícita definida pela equação
. Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas, que são usadas quando y está definido de forma implícita em relação a x, ou seja, y não está isolado. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar que y é uma função de x.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação para facilitar a diferenciação:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 3
Agora, vamos organizar todos os termos em um lado da equação para igualar a zero:
Simplificando:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se de que y é uma função de x, então quando derivamos termos com y, precisamos aplicar a regra da cadeia (derivada de y em relação a x, que é y’).
Derivando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra do produto). - A derivada de
é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
é 0.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
, que é a derivada que queremos encontrar. Primeiro, vamos juntar os termos com
:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função implícita é
.