Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! A função que a gente precisa derivar é
. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é fundamental quando temos funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a função
é a composição de duas funções: a função arco-tangente (
) e a função raiz quadrada (
). A regra da cadeia nos ajuda a derivar essas funções compostas passo a passo.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, sua derivada é
. No nosso caso,
onde
.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar a função externa, que é
. A derivada de
em relação a
é
. Então,
.
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna
. Podemos reescrever isso como
. Aplicando a regra do poder, a derivada é
. Então,
.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas das funções externa e interna:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que
. Então:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada de cada função a seguir:
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Utilizando derivação implícita, determine
:
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: