Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! A função que a gente precisa derivar é . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é fundamental quando temos funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é a composição de duas funções: a função arco-tangente ( ) e a função raiz quadrada ( ). A regra da cadeia nos ajuda a derivar essas funções compostas passo a passo.

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , sua derivada é . No nosso caso, onde .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a função externa, que é . A derivada de em relação a é . Então, .

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna . Podemos reescrever isso como . Aplicando a regra do poder, a derivada é . Então, .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas das funções externa e interna:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que . Então:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine a derivada de cada função a seguir:
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Utilizando derivação implícita, determine :
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: