Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a derivada das funções raiz quadrada e logaritmo natural, além de como elas se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes internas:
Aqui, temos uma função composta: a raiz quadrada de uma função logarítmica, que por sua vez tem uma função quadrática dentro.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então, vamos derivar a função externa
em relação a
:
Passo 4
Agora, derivamos a função interna
em relação a
:
Aqui usamos a derivada do logaritmo natural, que é
vezes a derivada de
.
Passo 5
Multiplicamos as duas derivadas obtidas nos passos anteriores conforme a regra da cadeia:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Resposta
A derivada da função é:
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Utilizando derivação implícita, determine
: