Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente utilizando a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a derivada das funções raiz quadrada e logaritmo natural, além de como elas se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes internas:
Aqui, temos uma função composta: a raiz quadrada de uma função logarítmica, que por sua vez tem uma função quadrática dentro.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então, vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos a função interna em relação a :
Aqui usamos a derivada do logaritmo natural, que é vezes a derivada de .

Passo 5

Multiplicamos as duas derivadas obtidas nos passos anteriores conforme a regra da cadeia:

Passo 6

Simplificamos a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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Utilizando derivação implícita, determine :