Determine a derivada de cada função a seguir.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Aqui, trabalharemos com cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra do produto e técnicas de diferenciação para funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Para encontrar a derivada de , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar . Essa função é uma exponencial onde a base e o expoente são a mesma variável, então usaremos a diferenciação logarítmica:
Tirando o logaritmo de ambos os lados:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada de é:

Passo 5

Aplicando a regra do produto, a derivada de será:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine a derivada de cada função a seguir.
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