Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar pontos chave como interceptações, extremos, e analisar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com o eixo
. Para isso, substituímos
na função:
Então, o gráfico intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com o eixo
. Para isso, resolvemos a equação
:
Podemos fatorar:
Então,
ou
, o que dá as soluções
e
. Assim, as interceptações com o eixo
são nos pontos
,
e
.
Passo 4
Vamos determinar os extremos da função, ou seja, os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, calculamos a derivada da função:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
As soluções são
e
.
Passo 5
Vamos analisar a concavidade e determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, calculamos a segunda derivada:
Avaliar
nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
e :
Passo 6
Vamos determinar os valores dos extremos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Finalmente, vamos analisar o comportamento da função para
tendendo ao infinito positivo e negativo. Como o termo de maior grau é
, que é positivo, temos:
Isso indica que o gráfico sobe para ambos os lados.
Resposta
Com todas as informações coletadas, o esboço do gráfico de
apresenta interceptações nos pontos
,
e
, um máximo local em
, mínimos locais em
e o gráfico sobe indefinidamente para
positivo e negativo.
Exercícios relacionados
Obtenha a equação da reta tangente:
À curva , no ponto
.
À curva
Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir.