Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender conceitos de funções polinomiais e radicais, além de identificar pontos importantes como interceptações e comportamento da função. Vamos precisar analisar o domínio, interceptos, simetrias e o comportamento da função em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o domínio da função. A função
é uma raiz cúbica, que está definida para todos os números reais, já que podemos tirar a raiz cúbica de qualquer número. Além disso,
é um polinômio definido para todo
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais:
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
-
Intercepto com o eixo y: Para isso, substituímos
na função: Então, o intercepto com o eixo y é o ponto. -
Interceptos com o eixo x: São os valores de
onde : Isso acontece quandoou . -
implica . -
implica .
Portanto, os interceptos com o eixo x são os pontos, e . -
Passo 4
Vamos verificar se a função é simétrica em relação ao eixo y, ao eixo x ou à origem.
- Substituindo
por : Como , a função é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de
e próximos de
.
-
Para
muito grande: Como o expoenteé positivo e par, a função tende ao quando tende a ou . -
Para
próximo de : Comoé sempre positivo, também é positivo, então tende a por valores negativos.
Passo 6
Vamos identificar os pontos críticos para entender onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, derivamos a função
:
Aplicando a regra do produto:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, vamos esboçar o gráfico:
- A função passa pelos pontos
, e . - É simétrica em relação ao eixo y.
- Tendência ao
quando tende a . - Tem pontos críticos em
. - Próximo de
, a função se aproxima de de forma negativa.
Com isso, podemos desenhar uma curva que passa por esses pontos, respeita a simetria, e se comporta conforme descrito nos intervalos analisados.
Resposta
O gráfico da função
apresenta interceptos em
,
e
, é simétrica em relação ao eixo y, tende ao infinito positivo para
grande em magnitude, e possui pontos críticos em
. Com base nessas características, o esboço do gráfico reflete esses comportamentos e pontos identificados.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Obtenha a equação da reta tangente:
À curva , no ponto
.
À curva
Determine a derivada de cada função a seguir.
Determine a derivada de cada função a seguir.