Esboce o gráfico das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender conceitos de funções polinomiais e radicais, além de identificar pontos importantes como interceptações e comportamento da função. Vamos precisar analisar o domínio, interceptos, simetrias e o comportamento da função em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o domínio da função. A função é uma raiz cúbica, que está definida para todos os números reais, já que podemos tirar a raiz cúbica de qualquer número. Além disso, é um polinômio definido para todo . Portanto, o domínio de é todos os números reais: .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
  • Intercepto com o eixo y: Para isso, substituímos na função:
    Então, o intercepto com o eixo y é o ponto .
  • Interceptos com o eixo x: São os valores de onde :
    Isso acontece quando ou .
    • implica .
    • implica .
    Portanto, os interceptos com o eixo x são os pontos , e .

Passo 4

Vamos verificar se a função é simétrica em relação ao eixo y, ao eixo x ou à origem.
  • Substituindo por : Como , a função é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de e próximos de .
  • Para muito grande:
    Como o expoente é positivo e par, a função tende ao quando tende a ou .
  • Para próximo de :
    Como é sempre positivo, também é positivo, então tende a por valores negativos.

Passo 6

Vamos identificar os pontos críticos para entender onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, derivamos a função :
Aplicando a regra do produto:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Portanto, os pontos críticos estão em e .

Passo 7

Com todas as informações coletadas, vamos esboçar o gráfico:
  • A função passa pelos pontos , e .
  • É simétrica em relação ao eixo y.
  • Tendência ao quando tende a .
  • Tem pontos críticos em .
  • Próximo de , a função se aproxima de de forma negativa.
Com isso, podemos desenhar uma curva que passa por esses pontos, respeita a simetria, e se comporta conforme descrito nos intervalos analisados.

Resposta

O gráfico da função apresenta interceptos em , e , é simétrica em relação ao eixo y, tende ao infinito positivo para grande em magnitude, e possui pontos críticos em . Com base nessas características, o esboço do gráfico reflete esses comportamentos e pontos identificados.

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Obtenha a equação da reta tangente:
À curva , no ponto .
Determine a derivada de cada função a seguir.
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