Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e exponenciais, além de como aplicar essas regras juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos um quociente em que o numerador é e o denominador é . Para derivar um quociente, usamos a regra do quociente: se , então .

Passo 3

Vamos achar , a derivada do numerador . Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Então, e . Assim:

Passo 4

Agora, vamos encontrar , a derivada do denominador . A derivada de é . Aqui, e . Portanto:

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, note que . Além disso, podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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Utilizando derivação implícita, determine :