Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especialmente a derivada implícita, já que está dentro de uma função trigonométrica envolvendo .

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que , aplicando a regra da cadeia e a regra do produto. Do outro lado, a derivada de em relação a é simplesmente , já que é uma constante.

Passo 3

A equação diferenciada fica:
Agora, vamos resolver para , que representa a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos os valores do ponto dado na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico.
Primeiro, calculamos .
Então:
Sabemos que , então a expressão se simplifica para:
Isso indica que a inclinação é indefinida, ou seja, a reta tangente é vertical.

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Utilizando derivação implícita, determine :
Determine a derivada de cada função a seguir:
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
Determine a derivada de cada função a seguir: