Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: sen(x y) = x em(1, pi/2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especialmente a derivada implícita, já que y está dentro de uma função trigonométrica envolvendo x.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembrando que , aplicando a regra da cadeia e a regra do produto. Do outro lado, a derivada de em relação a x é simplesmente e, já que e é uma constante.

Passo 3

A equação diferenciada fica:
Agora, vamos resolver para , que representa a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos os valores do ponto dado na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico.
Primeiro, calculamos .
Então:
Sabemos que , então a expressão se simplifica para:
Isso indica que a inclinação é indefinida, ou seja, a reta tangente é vertical.

Resposta

A equação da reta tangente é x = 1.

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