Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especialmente a derivada implícita, já que
está dentro de uma função trigonométrica envolvendo
.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
, aplicando a regra da cadeia e a regra do produto. Do outro lado, a derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
é uma constante.
Passo 3
A equação diferenciada fica:
Agora, vamos resolver para
, que representa a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores do ponto dado
na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico.
Primeiro, calculamos
.
Então:
Sabemos que
, então a expressão se simplifica para:
Isso indica que a inclinação é indefinida, ou seja, a reta tangente é vertical.
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Utilizando derivação implícita, determine
:
Determine a derivada de cada função a seguir:
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
Determine a derivada de cada função a seguir: