Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Você precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos analisar várias características da função, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir essas informações.

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para , precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Domínio: exceto e .

Passo 3

Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, definimos .
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto .
Interseções com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, definimos .
Então, a única interseção com o eixo x também é no ponto .

Passo 4

Assíntotas verticais:
Ocorrerão onde o denominador se anula.
Então, temos assíntotas verticais em e .
Assíntota horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada de .
Usamos a regra do quociente:
Igualando a zero:
O numerador deve ser zero:
Isso não tem solução real. Portanto, não há pontos críticos.

Passo 6

Analisando a primeira derivada:
O numerador é sempre positivo, já que é sempre positivo ou zero. O denominador também é sempre positivo, exceto onde não está definido ( ).
Portanto, para todo no domínio. Isso significa que a função está sempre crescendo onde está definida.
Intervalo de crescimento: e e
Intervalo de decrescimento: Nenhum

Passo 7

Como não há pontos críticos, não existem extremos relativos na função.

Passo 8

Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada.
Primeira derivada:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando a concavidade:
  1. Quando , a função é côncava para cima.
  2. Quando , a função é côncava para baixo.
Vamos considerar :
  • Côncava para cima:
    Como sempre, a concavidade depende do sinal de :
    • :
  • Côncava para baixo:
    • :
Intervalos de concavidade:
  • Concavidade para cima: e
  • Concavidade para baixo: e
Pontos de inflexão:
Ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não existe. quando . Portanto, há um ponto de inflexão em .

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Domínio: exceto e .
  • Interseção com os eixos: No ponto .
  • Assíntotas verticais: e .
  • Assíntota horizontal: .
  • Intervalos de crescimento: A função está crescente em todos os intervalos do domínio.
  • Extremos relativos: Não há.
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em e .
    • Côncava para baixo em e .
  • Ponto de inflexão: Em .
Com todas essas informações, você pode esboçar o gráfico da função sabendo como ela se comporta em cada intervalo.

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Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: .
Utilizando derivação implícita, determine :
Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir: