Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Você precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos analisar várias características da função, como domínio, interseções com os eixos, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade e pontos de inflexão. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir essas informações.
Passo 2
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para
, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Domínio:
exceto
e
.
Passo 3
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, definimos .
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, definimos
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto
.
Interseções com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, definimos .
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, definimos
Então, a única interseção com o eixo x também é no ponto
.
Passo 4
Assíntotas verticais:
Ocorrerão onde o denominador se anula.
Ocorrerão onde o denominador se anula.
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntota horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Vamos encontrar a primeira derivada de
.
Usamos a regra do quociente:
Igualando a zero:
O numerador deve ser zero:
Isso não tem solução real. Portanto, não há pontos críticos.
Passo 6
Analisando a primeira derivada:
O numerador
é sempre positivo, já que
é sempre positivo ou zero. O denominador
também é sempre positivo, exceto onde não está definido (
).
Portanto,
para todo
no domínio. Isso significa que a função está sempre crescendo onde está definida.
Intervalo de crescimento:
e
e
Intervalo de decrescimento: Nenhum
Passo 7
Como não há pontos críticos, não existem extremos relativos na função.
Passo 8
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada.
Primeira derivada:
Vamos derivar novamente usando a regra do quociente:
Simplificando:
Analisando a concavidade:
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
Vamos considerar
:
-
Côncava para cima:Como
sempre, a concavidade depende do sinal de : -
:
-
-
Côncava para baixo:
-
:
-
Intervalos de concavidade:
- Concavidade para cima:
e - Concavidade para baixo:
e
Pontos de inflexão:
Ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não existe.
quando
. Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Domínio:
exceto e . - Interseção com os eixos: No ponto
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Intervalos de crescimento: A função está crescente em todos os intervalos do domínio.
- Extremos relativos: Não há.
- Concavidade:
- Côncava para cima em
e . - Côncava para baixo em
e .
- Côncava para cima em
- Ponto de inflexão: Em
.
Com todas essas informações, você pode esboçar o gráfico da função sabendo como ela se comporta em cada intervalo.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
.
Utilizando derivação implícita, determine
:
Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir: