Determine a derivada de cada função a seguir.
f(x) = sen(x - ln(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas aqui, especificamente aplicando regras de derivação para funções compostas, como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e logarítmicas, além de entender como aplicar a regra da cadeia quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, identifique a função que vamos derivar: , onde . Aqui, temos uma função composta, porque dentro do seno temos outra função .

Passo 3

Para derivar , usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , a derivada de . Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, substituímos e de volta na expressão para :

Resposta

A derivada da função é:

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