Esboce o gráfico das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboço do gráfico da função . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar pontos importantes do gráfico, como máximos, mínimos e pontos de inflexão. Também vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta quando tende a mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função. A primeira derivada vai nos ajudar a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função tem máximos ou mínimos locais. A segunda derivada nos ajuda a encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade do gráfico muda.
A função dada é:
Vamos calcular a primeira derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde . Esses pontos podem ser máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Então, ou .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
    Como , temos um ponto de máximo local em .
  • Para :
    Como , temos um ponto de mínimo local em .

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas desses pontos máximos e mínimos substituindo os valores de na função original.
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Então, o ponto é .

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da função para tendendo a mais e menos infinito.
  • Quando :
    O termo dominante é , então .
  • Quando :
    Novamente, o termo dominante é , mas como o cubo de um número negativo é negativo, .

Passo 7

Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo (quando ):
    Já encontramos: .
  • Interceptos com o eixo (quando ):
    Resolvendo :
    Então, (com multiplicidade 2) e .
    Assim, os interceptos são e .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Ponto de máximo em .
  • Ponto de mínimo em .
  • Intercepto positivo em .
  • A função cresce para e decresce para .

Resposta

O gráfico da função apresenta um ponto de máximo local em , um ponto de mínimo local em , intercepta o eixo em , e tende a quando e a quando . Com esses pontos e comportamentos, é possível esboçar o gráfico da função.

Exercícios relacionados

Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir.