Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboço do gráfico da função
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar pontos importantes do gráfico, como máximos, mínimos e pontos de inflexão. Também vamos analisar o comportamento da função para entender como ela se comporta quando
tende a mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função. A primeira derivada vai nos ajudar a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função tem máximos ou mínimos locais. A segunda derivada nos ajuda a encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade do gráfico muda.
A função dada é:
Vamos calcular a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Esses pontos podem ser máximos ou mínimos locais.
Resolvendo
:
Então,
ou
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
-
Para
: Como, temos um ponto de máximo local em . -
Para
: Como, temos um ponto de mínimo local em .
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos máximos e mínimos substituindo os valores de
na função original.
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da função para
tendendo a mais e menos infinito.
-
Quando
:
O termo dominante é, então . -
Quando
:
Novamente, o termo dominante é, mas como o cubo de um número negativo é negativo, .
Passo 7
Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
-
Intercepto com o eixo
(quando ):
Já encontramos:. -
Interceptos com o eixo
(quando ):
Resolvendo: Então,(com multiplicidade 2) e .
Assim, os interceptos sãoe .
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Ponto de máximo em
. - Ponto de mínimo em
. - Intercepto positivo em
. - A função cresce para
e decresce para .
Resposta
O gráfico da função
apresenta um ponto de máximo local em
, um ponto de mínimo local em
, intercepta o eixo
em
, e tende a
quando
e a
quando
. Com esses pontos e comportamentos, é possível esboçar o gráfico da função.
Exercícios relacionados
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Esboce o gráfico das funções a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir.