Esboce o gráfico das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Esse exercício envolve o estudo de funções racionais, onde a gente vai precisar identificar outras características importantes como assíntotas, interceptos e comportamentos da função. Pra isso, vamos precisar saber como encontrar domínio, interceptos, assíntotas verticais e horizontais, e analisar o comportamento da função nos intervalos determinados por essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de onde a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero). Já vimos que e fazem o denominador zero, então temos duas assíntotas verticais:

Passo 4

Vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, observamos os graus do numerador e do denominador. O grau do numerador é 1 (porque ) e o grau do denominador é 2 (porque ). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos achar os interceptos. Primeiro, o intercepto ocorre quando . Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, o intercepto é no ponto .
Agora, o intercepto ocorre quando . Substituindo:
Então, o intercepto também é no ponto .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais e :
  1. Para : Escolha um valor, por exemplo, :
A função está abaixo do eixo .
  1. Para : Escolha :
A função passa pelo ponto .
  1. Para : Escolha :
A função está acima do eixo .

Resposta

O gráfico da função possui assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e passa pelo ponto . Nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais, a função está abaixo do eixo para e acima para , cruzando o eixo no ponto de origem. Com base nisso, o esboço do gráfico terá duas ramos, cada um se aproximando das assíntotas verticais e horizontais conforme vai para .

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