Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Esse exercício envolve o estudo de funções racionais, onde a gente vai precisar identificar outras características importantes como assíntotas, interceptos e comportamentos da função. Pra isso, vamos precisar saber como encontrar domínio, interceptos, assíntotas verticais e horizontais, e analisar o comportamento da função nos intervalos determinados por essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
onde a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero). Já vimos que
e
fazem o denominador zero, então temos duas assíntotas verticais:
Passo 4
Vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, observamos os graus do numerador e do denominador. O grau do numerador é 1 (porque
) e o grau do denominador é 2 (porque
). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos achar os interceptos. Primeiro, o intercepto
ocorre quando
. Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, o intercepto
é no ponto
.
Agora, o intercepto
ocorre quando
. Substituindo:
Então, o intercepto
também é no ponto
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais
e
:
- Para
: Escolha um valor, por exemplo, :
A função está abaixo do eixo
.
- Para
: Escolha :
A função passa pelo ponto
.
- Para
: Escolha :
A função está acima do eixo
.
Resposta
O gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e passa pelo ponto
. Nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais, a função está abaixo do eixo
para
e acima para
, cruzando o eixo no ponto de origem. Com base nisso, o esboço do gráfico terá duas ramos, cada um se aproximando das assíntotas verticais e horizontais conforme
vai para
.
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