Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que relaciona e de forma implícita:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando não está isolada.

Passo 2

Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos aplicar a regra da cadeia sempre que derivarmos termos que envolvem .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo da equação:
Usamos a regra da cadeia:
Agora, derivamos :
Então, o lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, derivamos o lado direito da equação:
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Colocamos as duas derivadas iguais, conforme a equação original:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para .

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expande o lado direito:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm :
Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Determine a derivada de cada função a seguir.
Para as funções dadas a seguir, pede-se:
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os correspondentes à conclusão do teorema.
, no intervalo
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: