Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que relaciona
e
de forma implícita:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando
não está isolada.
Passo 2
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos aplicar a regra da cadeia sempre que derivarmos termos que envolvem
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo da equação:
Usamos a regra da cadeia:
Agora, derivamos
:
Então, o lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, derivamos o lado direito da equação:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Colocamos as duas derivadas iguais, conforme a equação original:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expande o lado direito:
Passo 7
Vamos isolar os termos que contêm
:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da função implícita definida pelas equações:
Determine a derivada de cada função a seguir.
Para as funções dadas a seguir, pede-se:
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os correspondentes à conclusão do teorema.
, no intervalo
i) Verifique as condições do Teorema do Valor Médio.
ii) Determine os
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: