Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar o conceito de limite que define como calcular a taxa de variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Esse limite nos mostra a inclinação da reta tangente à função no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos simplificar a expressão no numerador. Uma técnica comum é multiplicar e dividir pela expressão conjugada, que ajuda a eliminar as raízes. Então, multiplicamos e dividimos por
:
Passo 5
Multiplicando os numeradores e os denominadores, temos:
No numerador, as raízes se eliminam.
Passo 6
Simplificando o numerador:
Portanto, a expressão fica:
Passo 7
Agora, podemos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada da função é:
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Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.
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Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
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