Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial foi dada, em cada caso e indique com setas o sentido no qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente desenhar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro θ está aumentando. A equação que a gente tem é . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam curvas no espaço tridimensional usando equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes individuais:
Isso significa que, para cada valor de θ, temos um ponto no espaço com coordenadas (x, y, z) determinadas por essas funções.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente:
  • e descrevem um círculo no plano xz, já que .
  • significa que, conforme θ aumenta, o valor de y também aumenta linearmente.

Passo 4

Juntando essas informações, percebemos que a curva é uma hélice. Imagine um círculo se movendo para cima ao longo do eixo y à medida que θ aumenta. Então, a curva vai enrolando em torno do eixo y, formando uma espécie de espiral.

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo y vertical.
  2. Trace um círculo no plano xz com raio 1.
  3. À medida que você move ao longo da y conforme θ aumenta, desenhe círculos paralelos deslocados para cima.
  4. Conecte esses círculos para formar a hélice.

Passo 6

Quanto à direção, como θ está aumentando, a hélice vai subindo no sentido positivo do eixo y. Então, coloque setas na hélice indicando que ela se move para cima conforme você percorre a curva.

Resposta

O gráfico da curva é uma hélice que se enrola ao redor do eixo y, subindo continuamente conforme o parâmetro θ aumenta. As setas no desenho devem indicar que a hélice se move para cima no sentido positivo do eixo y à medida que θ cresce.

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Determine a derivada de cada função vetorial.
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