Determine a derivada de cada função.
y = cos^(-1)(x)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que envolve o arco cosseno, ou seja, . A matéria que a gente vai usar para resolver isso é o cálculo, especificamente a derivada de funções trigonométricas inversas. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções como o arco cosseno para achar a sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que . Isso é a base para a gente usar a derivação implícita. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . A derivada de em relação a usa a regra da cadeia, porque é uma função de :
Aqui, é a derivada de e multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, queremos isolar para encontrar a derivada. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 5

Ainda temos em termos de , mas queremos expressar tudo em termos de . Sabemos que , então podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar :

Passo 6

Substituindo de volta na equação da derivada, temos:

Resposta

A derivada de é:

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