Determine a derivada de cada função.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função que envolve o arco cosseno, ou seja,
. A matéria que a gente vai usar para resolver isso é o cálculo, especificamente a derivada de funções trigonométricas inversas. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções como o arco cosseno para achar a sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que
. Isso é a base para a gente usar a derivação implícita. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. A derivada de
em relação a
usa a regra da cadeia, porque
é uma função de
:
Aqui,
é a derivada de
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 4
Agora, queremos isolar
para encontrar a derivada. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Ainda temos
em termos de
, mas queremos expressar tudo em termos de
. Sabemos que
, então podemos usar a identidade trigonométrica
para encontrar
:
Passo 6
Substituindo
de volta na equação da derivada, temos:
Resposta
A derivada de
é:
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Determine a derivada de cada função.
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Dê dois exemplos de como a derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação na física, química, biologia, economia ou em outras ciências.
1-50 Calcule
.