Sendo definida por , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a segunda derivada de , onde é definida por uma integral dupla:
Vamos precisar usar cálculo integral e derivadas, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observamos que é uma integral de uma integral. Para encontrar a primeira derivada , aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na parte externa da integral.
Então,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, derivamos em relação a . Observamos que o limite superior da integral depende de ), então usamos a Regra da Cadeia.
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior dependente de é a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite.
Então,

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Finalmente, simplificando os termos:
Portanto, a segunda derivada de é:

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Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Determine a derivada de cada uma das funções dadas abaixo:
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções: