Sendo
definida por
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a segunda derivada de
, onde
é definida por uma integral dupla:
Vamos precisar usar cálculo integral e derivadas, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar a derivação. Observamos que
é uma integral de uma integral. Para encontrar a primeira derivada
, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na parte externa da integral.
Então,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, derivamos
em relação a
. Observamos que o limite superior da integral depende de
(é
), então usamos a Regra da Cadeia.
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior dependente de
é a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite.
Então,
Passo 4
Vamos simplificar a expressão obtida:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Finalmente, simplificando os termos:
Portanto, a segunda derivada de
é:
Exercícios relacionados
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções:
Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
Determine a função derivada (considere a e b constantes) das seguintes funções: