Sendo g definida por g(x)=integral3^x(integral2^t^4 sin ^3(u)u^2 d u) d t, calcule g^prime prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a segunda derivada de g(x) = integral3^x(integral2^t^4 sin^3(u)u^2 , du) dt , onde é definida por uma integral dupla:
Vamos precisar usar cálculo integral e derivadas, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função g'(x) = integral2^x^4 sin^3(u)u^2 , du para facilitar a derivação. Observamos que é uma integral de uma integral. Para encontrar a primeira derivada , aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na parte externa da integral.
Então,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada g''(x) = sin^3(x^4)(x^4)^2 cdot ddx(x^4) . Para isso, derivamos em relação a . Observamos que o limite superior da integral depende de ), então usamos a Regra da Cadeia.
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite superior dependente de é a função dentro da integral avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite.
Então,

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida:
Primeiro, calculamos a derivada de ddx(x^4) = 4x^3 :
g''(x) = sin^3(x^4)x^8 cdot 4x^3
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Finalmente, simplificando os termos:
g''(x) = 4x^3 sin^3(x^4)x^8 = 4 sin^3(x^4)x^5
Portanto, a segunda derivada de g''(x) = 4 sin^3(x^4)x^5 é:

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