Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas de funções que envolvem razões de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos no numerador
e no denominador
. Para aplicar a Regra do Quociente, precisamos derivar tanto o numerador quanto o denominador.
Passo 3
Vamos derivar o numerador
. A derivada de
é
e a derivada de uma constante é zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
. A derivada de
é
. Assim:
Passo 5
Aplicando a Regra do Quociente, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então o numerador fica:
Passo 7
Agora, observamos que
pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica
. Rearranjando, temos
.
Substituindo:
Então, o numerador simplificado é
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função
é:
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Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto (1, 3).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular mt (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
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