Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: g(t) = (tg(t) - 1) / sec(t)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas de funções que envolvem razões de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos no numerador e no denominador . Para aplicar a Regra do Quociente, precisamos derivar tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 3

Vamos derivar o numerador . A derivada de é e a derivada de uma constante é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador . A derivada de é . Assim:

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente, temos:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então o numerador fica:

Passo 7

Agora, observamos que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica . Rearranjando, temos .
Substituindo:
Então, o numerador simplificado é .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = raiz(5)(x) + 2 no ponto (1, 3).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular mt (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).