integral x^2 raizx+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada pela raiz quadrada de uma expressão linear. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão , uma boa ideia é definir . Isso vai facilitar a integração porque a derivada de em relação a é simples.

Passo 3

Calculando a derivada de du = dx em relação a , temos:
Isso significa que , o que é útil para substituir na integral original.

Passo 4

Agora, precisamos expressar x = u - 3 em termos de . Como , podemos rearranjar para encontrar:
Assim, . Vamos substituir e na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral x^2 raizx + 3 , dx = integral (u - 3)^2 raizu , du
Agora, vamos expandir para simplificar ainda mais a expressão.

Passo 6

Expandindo (u - 3)^2 = u^2 - 6u + 9 :
integral (u^2 - 6u + 9) raizu , du
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos distribuir integral u^2 cdot u^1/2 , du - 6 integral u cdot u^1/2 , du + 9 integral u^1/2 , du em cada termo dentro do parêntese:
integral u^5/2 , du - 6 integral u^3/2 , du + 9 integral u^1/2 , du
Simplificando os expoentes:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência para integrais:
u^7/272 - 6 cdot u^5/252 + 9 cdot u^3/232 + C
Simplificando as frações:
27 u^7/2 - 125 u^5/2 + 6 u^3/2 + C

Passo 9

Por fim, vamos substituir 27 (x + 3)^7/2 - 125 (x + 3)^5/2 + 6 (x + 3)^3/2 + C de volta por para voltar à variável original:

Resposta

A integral 27 (x + 3)^7/2 - 125 (x + 3)^5/2 + 6 (x + 3)^3/2 + C é igual a:

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