Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada pela raiz quadrada de uma expressão linear. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão
, uma boa ideia é definir
. Isso vai facilitar a integração porque a derivada de
em relação a
é simples.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
, temos:
Isso significa que
, o que é útil para substituir na integral original.
Passo 4
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Como
, podemos rearranjar para encontrar:
Assim,
. Vamos substituir
e
na integral original.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos expandir
para simplificar ainda mais a expressão.
Passo 6
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos distribuir
em cada termo dentro do parêntese:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência para integrais:
Simplificando as frações:
Passo 9
Por fim, vamos substituir
de volta por
para voltar à variável original:
Resposta
A integral
é igual a:
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Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: