integral e^2 x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo, especificamente técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta super útil para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, e são partes da função que estamos integrando. Vamos escolher qual parte será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, podemos deixar:
u = e^2x e dv = cos x , dx
Agora, precisamos encontrar du = ddx e^2x , dx = 2 e^2x , dx e v = integral cos x , dx = sin x :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^2x cos x , dx = u cdot v - integral v , du
= e^2x cdot sin x - integral sin x cdot 2 e^2x , dx
= e^2x sin x - 2 integral e^2x sin x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^2x e dv = sin x , dx . Vamos usar novamente a integração por partes, dessa vez com:
du = 2 e^2x , dx
Então,
v = -cos x

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^2x sin x , dx = u cdot v - integral v , du
= e^2x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot 2 e^2x , dx
= -e^2x cos x + 2 integral e^2x cos x , dx

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na equação que tínhamos:
integral e^2x cos x , dx = e^2x sin x - 2 ( -e^2x cos x + 2 integral e^2x cos x , dx )
= e^2x sin x + 2 e^2x cos x - 4 integral e^2x cos x , dx

Passo 8

Agora, temos a mesma integral que queremos resolver no lado direito da equação. Vamos chamar essa integral de I = integral e^2x cos x , dx :
I = e^2x sin x + 2 e^2x cos x - 4 I
Substituindo:

Passo 9

Agora, vamos isolar I + 4 I = e^2x sin x + 2 e^2x cos x :
5 I = e^2x (sin x + 2 cos x)

Passo 10

Finalmente, resolvemos para I = e^2x (sin x + 2 cos x)5 + C :
onde é a constante de integração.

Resposta

integral e^2x cos x , dx = e^2x (sin x + 2 cos x)5 + C

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