Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas básicas como tangente e secante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito mais simples. Sabemos que , então:
Isso vai facilitar a derivação usando a regra do produto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto. Se temos uma função , a derivada é .
Aqui, e .

Passo 4

Vamos encontrar e :
  • Derivada de é .
  • Derivada de é 0.
Então, .
  • Derivada de é .
Então, .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Como , então:
Então:

Passo 7

Vamos combinar os termos:
Sabemos que , então:

Resposta

A derivada da função é .

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Determine as derivadas das funções a seguir:
Verifique em que ponto(s) a função não é derivável. Justifique sua resposta.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto e é tangente ao gráfico de . Ilustre a interseção construindo o gráfico.
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :