Verifique em que ponto(s) a função não é derivável. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em que ponto(s) a função não é derivável. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo relacionado a derivadas e especialmente a derivadas de funções que envolvem valor absoluto. Vamos precisar entender como a derivada funciona e como o comportamento da função dentro do valor absoluto pode afetar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto: . Sabemos que o valor absoluto, , pode causar problemas na derivabilidade quando o que está dentro dele, , muda de sinal, ou seja, quando .
Passo 3
Então, vamos encontrar onde . Resolvendo essa equação:
Isso significa que nos pontos e , a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que uma função não é derivável em pontos onde há uma “virada” abrupta, como cantos ou pontas. No caso do valor absoluto, isso acontece exatamente quando o que está dentro muda de sinal.
Passo 5
Vamos verificar a derivada de em diferentes intervalos:
Para ou , é positivo, então . A derivada aqui é .
Para , é negativo, então . A derivada aqui é .
Passo 6
Agora, vamos ver o que acontece nos pontos e :
Em :
A derivada pela direita () é .
A derivada pela esquerda () é .
Como , as derivadas pela direita e pela esquerda não coincidem. Portanto, não é derivável em .