Verifique em que ponto(s) a função não é derivável. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em que ponto(s) a função não é derivável. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo relacionado a derivadas e especialmente a derivadas de funções que envolvem valor absoluto. Vamos precisar entender como a derivada funciona e como o comportamento da função dentro do valor absoluto pode afetar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto: . Sabemos que o valor absoluto, , pode causar problemas na derivabilidade quando o que está dentro dele, , muda de sinal, ou seja, quando .

Passo 3

Então, vamos encontrar onde . Resolvendo essa equação:
Isso significa que nos pontos e , a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que uma função não é derivável em pontos onde há uma “virada” abrupta, como cantos ou pontas. No caso do valor absoluto, isso acontece exatamente quando o que está dentro muda de sinal.

Passo 5

Vamos verificar a derivada de em diferentes intervalos:
  • Para ou , é positivo, então . A derivada aqui é .
  • Para , é negativo, então . A derivada aqui é .

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece nos pontos e :
  • Em :
    • A derivada pela direita ( ) é .
    • A derivada pela esquerda ( ) é .
    • Como , as derivadas pela direita e pela esquerda não coincidem. Portanto, não é derivável em .
  • Em :
    • A derivada pela direita ( ) é .
    • A derivada pela esquerda ( ) é .
    • Novamente, , então também não é derivável em .

Resposta

A função não é derivável nos pontos e .

Exercícios relacionados

Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
Calcule, se existir, o valor do limite: .
Determine as derivadas das funções a seguir:
Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: