Determine as derivadas das funções a seguir: y = x^(2/3)(2 x^(1/3) - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com a regra do produto. Para isso, precisamos lembrar que quando temos duas funções multiplicadas, a derivada delas é dada pela derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Seja:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente.
A derivada de é:
Isso porque quando derivamos , a regra é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1.

Passo 4

Derivando , temos:
O termo constante (-1) desaparece porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:

Passo 7

Agora, juntando todos os termos simplificados:

Passo 8

Vamos combinar os termos constantes:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados