Determine a derivada das curvas dadas abaixo:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da curva definida pela equação . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente a Derivação Implícita. Para isso, precisamos saber como derivar funções que não estão isoladas em termos de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada implícita. Nessa equação, não está isolada, ou seja, não está expressa apenas em função de . A derivada implícita nos permite encontrar mesmo quando a relação entre e está misturada como nesse caso.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , usamos a regra da cadeia, porque é uma função de .

Passo 4

Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (pela regra da cadeia).
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos o termo que contém :

Passo 6

Em seguida, dividimos ambos os lados por para encontrar :

Resposta

A derivada da curva é:

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a)
Determine a derivada das curvas dadas abaixo:
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada. ;