Determine a derivada d yd x de cada uma das funções dadas abaixo: integral0^y exp (t) d t+integral0^x sin (t) d t

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que precisamos derivar:
Vamos derivar cada uma separadamente em relação a .

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: ddx ( integral0^y e^t dt ) = e^y cdot dydx .
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de em relação a é . Aqui, e .
Então, a derivada dessa parte é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda integral: ddx ( integral0^x sin(t) dt ) = sin(x) cdot dxdx = sin(x) .
Aplicando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo, temos e .
Portanto, a derivada dessa parte é:
(Lembrando que )

Passo 5

Agora, juntando as duas derivadas que calculamos:
dydx = e^y cdot dydx + sin(x)
Queremos isolar dydx - e^y cdot dydx = sin(x) . Para isso, vamos reorganizar a equação:
dydx (1 - e^y) = sin(x)
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos dydx = sin(x)1 - e^y = -sin(x)e^y - 1 dividindo ambos os lados por :

Resposta

dydx = -sin(x)e^y

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