Resolva as integrais usando métodos adequados: integral x^2 ln (raiz1-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar o método de integração por partes e algumas propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão ln(raiz1-x) = ln((1-x)^1/2) = 12 ln(1 - x) . Sabemos que integral x^2 ln (raiz1-x) , dx = 12 integral x^2 ln(1 - x) , dx pode ser escrita como . Utilizando a propriedade dos logaritmos , temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u = ln(1 - x) Rightarrow du = -11 - x , dx
Precisamos escolher dv = x^2 , dx Rightarrow v = x^33 e de forma que a integral se simplifique. Vamos definir:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln(1 - x) , dx = x^33 ln(1 - x) - integral x^33 cdot -11 - x , dx
Simplificando a segunda parte:
= x^33 ln(1 - x) + 13 integral x^31 - x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral x^31 - x = -x^3 cdot 1x - 1 = -x^3x - 1 . Observamos que:
x^31 - x = -x^3 cdot 1x - 1 = -( -x^2 - x - 1 - 1x - 1 ) = x^2 + x + 1 + 1x - 1
Podemos realizar a divisão polinomial ou reescrever a fração:
integral x^31 - x , dx = integral (x^2 + x + 1) , dx + integral 1x - 1 , dx = x^33 + x^22 + x + ln|x - 1| + C
Então, a integral se torna:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 ln(1 - x) , dx = x^33 ln(1 - x) + 13 ( x^33 + x^22 + x + ln|x - 1| ) + C
Simplificando:
= x^33 ln(1 - x) + x^39 + x^26 + x3 + 13 ln|x - 1| + C

Passo 7

Lembrando que a nossa integral original tinha um fator de 12 integral x^2 ln(1 - x) , dx = 12 ( x^33 ln(1 - x) + x^39 + x^26 + x3 + 13 ln|x - 1| ) + C , aplicamos isso agora:
= x^36 ln(1 - x) + x^318 + x^212 + x6 + 16 ln|x - 1| + C
Simplificando novamente:

Resposta

integral x^2 ln (raiz1-x) , dx = x^36 ln(1 - x) + x^318 + x^212 + x6 + 16 ln|x - 1| + C

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