Determine a derivada de cada uma das funções dadas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada de uma função que tem duas integrais. Então, o que precisamos aqui é usar conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais. Vamos precisar entender como derivar integrais com limites variáveis e também como lidar com funções implícitas.
A função que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos chamar essa função de :
Como queremos encontrar , vamos imaginar que é constante. Ou seja, , onde é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso nos dá:

Passo 4

Vamos derivar cada parte de separadamente.
Primeiro, a derivada de em relação a . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos , a derivada em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda integral em relação a . Aqui, é uma função de , então usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Assim:

Passo 6

Juntando as duas derivadas, temos:
Isso vem de igualar a derivada total a zero, já que é constante.

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos :

Passo 8

Finalmente, dividimos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada é:

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