Determine a derivada
de cada uma das funções dadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada
de uma função que tem duas integrais. Então, o que precisamos aqui é usar conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais. Vamos precisar entender como derivar integrais com limites variáveis e também como lidar com funções implícitas.
A função que temos é:
Passo 2
Primeiro, vamos chamar essa função de
:
Como queremos encontrar
, vamos imaginar que
é constante. Ou seja,
, onde
é uma constante.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
. Isso nos dá:
Passo 4
Vamos derivar cada parte de
separadamente.
Primeiro, a derivada de
em relação a
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos
, a derivada em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar a segunda integral
em relação a
. Aqui,
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Assim:
Passo 6
Juntando as duas derivadas, temos:
Isso vem de igualar a derivada total a zero, já que
é constante.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Passo 8
Finalmente, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada
é:
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abaixo nos intervalos indicados e o valor de
em que isso ocorre:
em