Determine a derivada d yd x de cada uma das funções dadas abaixo: integralpi / 2^x raiz3-sin ^2(z) d z+integral0^y cos (z) d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada integralpi2^x raiz3 - sin^2(z) , dz + integral0^y cos(z) , dz de uma função que tem duas integrais. Então, o que precisamos aqui é usar conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais. Vamos precisar entender como derivar integrais com limites variáveis e também como lidar com funções implícitas.
A função que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos chamar essa função de F(x, y) = integralpi2^x raiz3 - sin^2(z) , dz + integral0^y cos(z) , dz :
Como queremos encontrar , vamos imaginar que é constante. Ou seja, , onde é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação dFdx = 0 em relação a . Isso nos dá:

Passo 4

Vamos derivar cada parte de ddx ( integralpi2^x raiz3 - sin^2(z) , dz ) = raiz3 - sin^2(x) separadamente.
Primeiro, a derivada de em relação a . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos , a derivada em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar a segunda integral ddx ( integral0^y cos(z) , dz ) = cos(y) cdot dydx em relação a . Aqui, é uma função de , então usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Assim:

Passo 6

Juntando as duas derivadas, temos:
raiz3 - sin^2(x) + cos(y) cdot dydx = 0
Isso vem de igualar a derivada total a zero, já que é constante.

Passo 7

Agora, vamos resolver para cos(y) cdot dydx = -raiz3 - sin^2(x) . Primeiro, isolamos :

Passo 8

Finalmente, dividimos ambos os lados por dydx = -raiz3 - sin^2(x)cos(y) para isolar :

Resposta

A derivada dydx = -raiz3 - sin^2(x)cos(y) é:

Exercícios relacionados