Determine a derivada das seguintes funções:
(b) G(x)=x^2 integral-4^5 x e^-t^2 d t, Resposta: G^prime(x)=2 x integral-4^5 x e^-t^2 d t+5 x^2 e^-25 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra do produto e a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, observe que nossa função é o produto de duas partes: e a integral . Quando temos uma função que é o produto de duas funções, a gente usa a regra do produto para derivar.

Passo 3

A regra do produto diz que se , então a derivada é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular u'(x) = 2x . Como , a derivada é simples:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada da integral . Para isso, usamos a regra de Leibniz, que nos diz como derivar uma integral com limites que dependem de .

Passo 6

A regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis é:
ddx ( integrala^h(x) f(t) , dt ) = f(h(x)) cdot h'(x)
Aqui, v'(x) = e^-(5x)^2 cdot ddx(5x) = e^-25x^2 cdot 5 = 5e^-25x^2 é constante e . Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do produto que mencionamos no Passo 3:
G'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
G'(x) = 2x cdot integral-4^5x e^-t^2 , dt + x^2 cdot 5e^-25x^2

Resposta

G^prime(x) = 2x integral-4^5x e^-t^2 , dt + 5x^2 e^-25x^2

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