Determine a derivada das seguintes funções:
(b)
Resposta:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra do produto e a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, observe que nossa função
é o produto de duas partes:
e a integral
. Quando temos uma função que é o produto de duas funções, a gente usa a regra do produto para derivar.
Passo 3
A regra do produto diz que se
, então a derivada
é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
. Como
, a derivada é simples:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada da integral
. Para isso, usamos a regra de Leibniz, que nos diz como derivar uma integral com limites que dependem de
.
Passo 6
A regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis é:
Aqui,
é constante e
. Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra do produto que mencionamos no Passo 3:
Substituindo os valores que encontramos: