(1,0) Se z=e^x sen(x y), onde x=s^2 t e y=s t^2, determine partial zpartial s e partial zpartial t através da regra da cadeia.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de derivadas parciais usando a regra da cadeia, que é uma técnica importante em Cálculo Multivariável. A pergunta é: dado que , onde e , precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de e . Para achar e , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

Vamos começar encontrando partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Calculando cada termo:
  1. (usando a derivada do produto e a regra da cadeia)
  2. (derivando em relação a )
  3. (derivando em relação a )
  4. (derivando em relação a )

Passo 5

Substituindo esses termos na expressão:
partial zpartial s = ( e^x sin(x y) + e^x y cos(x y) ) cdot 2 s t + ( e^x x cos(x y) ) cdot t^2

Passo 6

Simplificando:
partial zpartial s = 2 s t e^x sin(x y) + 2 s t e^x y cos(x y) + t^2 e^x x cos(x y)

Passo 7

Agora, vamos encontrar partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a mesma regra da cadeia:

Passo 8

Calculando cada termo:
  1. (derivando em relação a )
  2. (derivando em relação a )

Passo 9

Substituindo na expressão:
partial zpartial t = ( e^x sin(x y) + e^x y cos(x y) ) cdot s^2 + ( e^x x cos(x y) ) cdot 2 s t

Passo 10

Simplificando:
partial zpartial t = s^2 e^x sin(x y) + s^2 e^x y cos(x y) + 2 s t e^x x cos(x y)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2 s t e^x sin(x y) + 2 s t e^x y cos(x y) + t^2 e^x x cos(x y)
e
partial zpartial t = s^2 e^x sin(x y) + s^2 e^x y cos(x y) + 2 s t e^x x cos(x y)

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