Se
, onde
e
, determine
e
através da regra da cadeia.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de derivadas parciais usando a regra da cadeia, que é uma técnica importante em Cálculo Multivariável. A pergunta é: dado que
, onde
e
, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Para achar
e
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Calculando cada termo:
-
(usando a derivada do produto e a regra da cadeia) -
(derivando em relação a ) -
(derivando em relação a ) -
(derivando em relação a )
Passo 5
Substituindo esses termos na expressão:
Passo 6
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
usando a mesma regra da cadeia:
Passo 8
Calculando cada termo:
-
(derivando em relação a ) -
(derivando em relação a )
Passo 9
Substituindo na expressão:
Passo 10
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e