Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como , ao derivar em relação a , apenas a primeira parte depende de . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, . Aqui, ambas as partes da função dependem de :

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a , ou seja, . Somente a segunda parte depende de :

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O gradiente de no ponto é:

Exercícios relacionados

Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(d)
Se e , encontre as seguintes funções e seus domínios:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .
Determine a derivada direcional da função na direção .
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