Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y) = raiz(9 x^2 - 4 y^2 - 1), P(3, -2), a = i + 5 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
A fórmula para tornar um vetor unitário é dividir cada componente pelo módulo do vetor:
Calculando o módulo:
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, vamos calcular :
E agora :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão do gradiente:
Então:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor direção unitário:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

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