Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
A fórmula para tornar um vetor unitário é dividir cada componente pelo módulo do vetor:
Calculando o módulo:
Então, o vetor unitário é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, vamos calcular :
E agora :
Então, o gradiente é:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão do gradiente:
Então:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor direção unitário: