Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
A fórmula para tornar um vetor unitário é dividir cada componente pelo módulo do vetor:
Calculando o módulo:
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, vamos calcular :
E agora :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão do gradiente:
Então:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente com o vetor direção unitário:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

Exercícios relacionados

Seja uma função ao conjunto , dada por
Pede-se:
b) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas cilíndricas considerando o domínio Q dado por .
Seja uma função ao conjunto , dada por
Pede-se:
a) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas cartesianas considerando o domínio R dado por .
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Uma equação da superfície de uma montanha é , onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a . (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?