Uma equação da superfície de uma montanha é , onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a . (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da superfície de uma montanha: . A distância é medida em metros, com o eixo apontando para o leste e o eixo para o norte. Um alpinista está no ponto . Precisamos responder quatro questões relacionadas à direção e taxa de subida ou descida do alpinista. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como o gradiente e derivadas parciais.

Passo 2

(a) Direção e sentido da parte que tem maior aclive
Primeiro, para encontrar a direção de maior aclive, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente nos dá a direção em que a função aumenta mais rapidamente.
A função dada é .
As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:
No ponto , temos:
Isso significa que a direção de maior aclive é na direção do vetor , que aponta para o leste (positivo em ) e para o sul (negativo em ).

Passo 3

(b) Movimento na direção leste: subindo ou descendo e taxa
Mover na direção leste significa mover-se na direção positiva do eixo . Para saber se está subindo ou descendo, e qual a taxa, usamos a derivada parcial em relação a .
Já calculamos:
No ponto :
Como a derivada é positiva ( ), isso indica que, ao mover-se na direção leste, o alpinista está subindo. A taxa de subida é de 60 metros por metro.

Passo 4

© Movimento na direção sudoeste: subindo ou descendo e taxa
A direção sudoeste combina movimentos para o sul e para o oeste. Em termos de vetores, isso pode ser representado por . Para encontrar a taxa de variação nessa direção, precisamos calcular a derivada direcional.
Primeiro, normalizamos o vetor da direção sudoeste:
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário nessa direção:
Como a derivada direcional é negativa ( ), o alpinista está descendo na direção sudoeste. A taxa de descida é de metros por metro.

Passo 5

(d) Direção e sentido para percorrer um caminho plano
Um caminho plano significa que não há variação na altura, ou seja, a derivada direcional nessa direção é zero. Isso acontece quando a direção é perpendicular ao gradiente.
O gradiente no ponto é . Uma direção perpendicular a esse vetor pode ser obtida trocando as componentes e invertendo o sinal de uma delas, por exemplo, ou .
Portanto, as direções possíveis para um caminho plano são:
  • Noroeste-Sudeste: seguindo o vetor
  • Sudeste-Noroeste: seguindo o vetor
Essas direções garantem que o alpinista percorra um caminho sem subir ou descer.

Resposta

(a) A maior aclive está na direção leste-sudoeste, seguindo o vetor .
(b) Ao se mover na direção leste, o alpinista está subindo com uma taxa de 60 metros por metro.
© Ao se mover na direção sudoeste, o alpinista está descendo com uma taxa de metros por metro.
(d) Ele estará percorrendo um caminho plano na direção noroeste-sudeste ou sudeste-noroeste, seguindo vetores perpendiculares ao gradiente.

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada: