Uma equação da superfície de uma montanha é
, onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos
a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a
. (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?
está no ponto correspondente a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da superfície de uma montanha:
. A distância é medida em metros, com o eixo
apontando para o leste e o eixo
para o norte. Um alpinista está no ponto
. Precisamos responder quatro questões relacionadas à direção e taxa de subida ou descida do alpinista. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como o gradiente e derivadas parciais.
Passo 2
(a) Direção e sentido da parte que tem maior aclive
Primeiro, para encontrar a direção de maior aclive, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente nos dá a direção em que a função aumenta mais rapidamente.
A função dada é
.
As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:
No ponto
, temos:
Isso significa que a direção de maior aclive é na direção do vetor
, que aponta para o leste (positivo em
) e para o sul (negativo em
).
Passo 3
(b) Movimento na direção leste: subindo ou descendo e taxa
Mover na direção leste significa mover-se na direção positiva do eixo
. Para saber se está subindo ou descendo, e qual a taxa, usamos a derivada parcial em relação a
.
Já calculamos:
No ponto
:
Como a derivada é positiva (
), isso indica que, ao mover-se na direção leste, o alpinista está subindo. A taxa de subida é de 60 metros por metro.
Passo 4
© Movimento na direção sudoeste: subindo ou descendo e taxa
A direção sudoeste combina movimentos para o sul e para o oeste. Em termos de vetores, isso pode ser representado por
. Para encontrar a taxa de variação nessa direção, precisamos calcular a derivada direcional.
Primeiro, normalizamos o vetor da direção sudoeste:
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário nessa direção:
Como a derivada direcional é negativa (
), o alpinista está descendo na direção sudoeste. A taxa de descida é de
metros por metro.
Passo 5
(d) Direção e sentido para percorrer um caminho plano
Um caminho plano significa que não há variação na altura, ou seja, a derivada direcional nessa direção é zero. Isso acontece quando a direção é perpendicular ao gradiente.
O gradiente no ponto
é
. Uma direção perpendicular a esse vetor pode ser obtida trocando as componentes e invertendo o sinal de uma delas, por exemplo,
ou
.
Portanto, as direções possíveis para um caminho plano são:
- Noroeste-Sudeste: seguindo o vetor
- Sudeste-Noroeste: seguindo o vetor
Essas direções garantem que o alpinista percorra um caminho sem subir ou descer.
Resposta
(a) A maior aclive está na direção leste-sudoeste, seguindo o vetor
.
(b) Ao se mover na direção leste, o alpinista está subindo com uma taxa de 60 metros por metro.
© Ao se mover na direção sudoeste, o alpinista está descendo com uma taxa de
metros por metro.
(d) Ele estará percorrendo um caminho plano na direção noroeste-sudeste ou sudeste-noroeste, seguindo vetores perpendiculares ao gradiente.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada: