Seja uma função ao conjunto , dada por
Pede-se:
b) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas cilíndricas considerando o domínio Q dado por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função constante definida no espaço tridimensional . O objetivo aqui é calcular a integral tripla dessa função usando coordenadas cilíndricas sobre um domínio específico . Isso envolve entender conceitos de cálculo integral em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, cada ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo .
  • é o ângulo em relação ao eixo .
  • é a altura do ponto.
A medida de volume em coordenadas cilíndricas é dada por:
Isso porque estamos basicamente girando uma área infinitesimal ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla. Como a função é constante, podemos simplificar a integral multiplicando pela função constante:
Os limites de integração são:
  • vai de 0 a
  • vai de 0 a
  • vai de 0 a 1

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla de sobre o domínio em coordenadas cilíndricas é .

Exercícios relacionados

Seja uma função ao conjunto , dada por
Pede-se:
a) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas cartesianas considerando o domínio R dado por .
Seja uma função ao conjunto , dada por
Pede-se:
c) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas esféricas considerando o domínio Q dado por .
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada: