Seja uma função
ao conjunto
, dada por
Pede-se:
b) (10 pontos). Calcule a integral tripla de
em coordenadas cilíndricas considerando o domínio Q dado por
.
b) (10 pontos). Calcule a integral tripla de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função constante
definida no espaço tridimensional
. O objetivo aqui é calcular a integral tripla dessa função usando coordenadas cilíndricas sobre um domínio específico
. Isso envolve entender conceitos de cálculo integral em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, cada ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo . -
é o ângulo em relação ao eixo . -
é a altura do ponto.
A medida de volume
em coordenadas cilíndricas é dada por:
Isso porque estamos basicamente girando uma área infinitesimal
ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla. Como a função
é constante, podemos simplificar a integral multiplicando pela função constante:
Os limites de integração são:
-
vai de 0 a -
vai de 0 a -
vai de 0 a 1
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla de
sobre o domínio
em coordenadas cilíndricas é
.
Exercícios relacionados
Seja uma função
ao conjunto
, dada por
Pede-se:
a) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas cartesianas considerando o domínio R dado por
.
a) (10 pontos). Calcule a integral tripla de
Seja uma função
ao conjunto
, dada por
Pede-se:
c) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas esféricas considerando o domínio Q dado por
.
c) (10 pontos). Calcule a integral tripla de
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada: