Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y) = x cos^2(y), P(2, pi/4), a = 5i + j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e projetar na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente de e do vetor direção normalizado.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Sabendo que :

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Fazendo o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se quiser:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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