Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e projetar na direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função
em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente de
e do vetor direção normalizado.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Sabendo que
:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Fazendo o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se quiser:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Seja uma função
ao conjunto
, dada por
Pede-se:
b) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas cilíndricas considerando o domínio Q dado por
.
b) (10 pontos). Calcule a integral tripla de
Uma equação da superfície de uma montanha é
, onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos
a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a . (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?
está no ponto correspondente a
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada: