Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y) = arctg(y/x), P(4, -4), a = 2i - 3j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar normalizar o vetor direção, calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor direção . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1) na mesma direção.
A fórmula para normalizar é:
onde é a norma (magnitude) do vetor .
Calculando a norma:
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

Por fim, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é ou, racionalizando, .

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