Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar normalizar o vetor direção, calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o vetor direção
. Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1) na mesma direção.
A fórmula para normalizar
é:
onde
é a norma (magnitude) do vetor
.
Calculando a norma:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Por fim, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
ou, racionalizando,
.