Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar normalizar o vetor direção, calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor direção . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1) na mesma direção.
A fórmula para normalizar é:
onde é a norma (magnitude) do vetor .
Calculando a norma:
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

Por fim, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é ou, racionalizando, .

Exercícios relacionados

Uma equação da superfície de uma montanha é , onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a . (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto em uma direção específica , pela fórmula . Nestas condições, estime:
A variação de , se o ponto se mover de uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto