Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto em uma direção específica , pela fórmula . Nestas condições, estime:
A variação de , se o ponto se mover de uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável que envolve a estimativa da variação de uma função quando nos movemos uma pequena distância em uma direção específica. A função dada é . Precisaremos utilizar o conceito de derivada direcional para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o ponto de partida e o ponto de direção . Vamos determinar o vetor direção a partir de em direção a .

Passo 3

Calculamos o vetor subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 4

Agora, normalizamos o vetor direção para que ele tenha magnitude 1:

Passo 5

Em seguida, calculamos o gradiente da função no ponto . As derivadas parciais são:
Substituindo :
Então, o gradiente é:

Passo 6

Calculamos a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula dada para a variação da função:

Resposta

A variação de é aproximadamente unidades.

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Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
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