Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto
em uma direção específica
, pela fórmula
. Nestas condições, estime:
A variação de
, se o ponto
se mover de
uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto
A variação de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável que envolve a estimativa da variação de uma função quando nos movemos uma pequena distância em uma direção específica. A função dada é . Precisaremos utilizar o conceito de derivada direcional para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o ponto de partida
e o ponto de direção
. Vamos determinar o vetor direção
a partir de
em direção a
.
Passo 3
Calculamos o vetor
subtraindo as coordenadas de
das de
:
Passo 4
Agora, normalizamos o vetor direção
para que ele tenha magnitude 1:
Passo 5
Em seguida, calculamos o gradiente da função
no ponto
. As derivadas parciais são:
Substituindo
:
Então, o gradiente é:
Passo 6
Calculamos a derivada direcional
utilizando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula dada para a variação da função:
Resposta
A variação de
é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
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na direção indicada: