Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto P0 em uma direção específica u, pela fórmula df = D_u f(x0, y0) ds. Nestas condições, estime:
A variação de f(x, y, z) = x + x cos(z) - y sen(z) + y, se o ponto P(x, y, z) se mover de P(2, -2, 0) uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto Q(0, 1, 2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável que envolve a estimativa da variação de uma função quando nos movemos uma pequena distância em uma direção específica. A função dada é . Precisaremos utilizar o conceito de derivada direcional para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o ponto de partida e o ponto de direção . Vamos determinar o vetor direção u a partir de P em direção a Q.

Passo 3

Calculamos o vetor subtraindo as coordenadas de P das de Q:

Passo 4

Agora, normalizamos o vetor direção u para que ele tenha magnitude 1:

Passo 5

Em seguida, calculamos o gradiente da função f no ponto . As derivadas parciais são:
Substituindo :
Então, o gradiente é:

Passo 6

Calculamos a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula dada para a variação da função:

Resposta

A variação de f é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados