Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor de direção.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar a derivada direcional é calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor. Para normalizar
, calculamos seu comprimento (norma):
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada direcional
, usamos a fórmula do produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Uma equação da superfície de uma montanha é
, onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos
a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a . (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?
está no ponto correspondente a
Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto
em uma direção específica
, pela fórmula
. Nestas condições, estime:
A variação de , se o ponto
se mover de
uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto
A variação de
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada: