Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor de direção.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar a derivada direcional é calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor. Para normalizar , calculamos seu comprimento (norma):
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada direcional , usamos a fórmula do produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é:

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Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Uma equação da superfície de uma montanha é , onde a distância é medida em metros, os pontos do eixo dos a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista
está no ponto correspondente a . (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual será esta taxa? © Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano?
Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto em uma direção específica , pela fórmula . Nestas condições, estime:
A variação de , se o ponto se mover de uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada: