Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y, z) = (x + y)(y + z), P(5, 7, 1), a = -3i + k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor de direção.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar a derivada direcional é calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor. Para normalizar , calculamos seu comprimento (norma):
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada direcional , usamos a fórmula do produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é:

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