Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional máxima da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes. Pra resolver isso, precisamos entender como calcular a derivada direcional e usar o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção qualquer a partir de um ponto específico. A fórmula geral é:
Aqui,
é o gradiente de
e
é o vetor unitário que representa a direção escolhida.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, no ponto
:
A derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente, e seu valor é o módulo do gradiente. Calculando o módulo de
:
A direção em que isso ocorre é na direção do vetor gradiente, ou seja, na direção de
. Podemos representar essa direção como um vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional máxima de
em
é
e ocorre na direção de
.
Exercícios relacionados
Esboçe a curva de nível de
que passa pelo ponto
e disenhe o vetor gradiente em
:
© .
©
Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(b) .
(b)
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(b) ;
(b)
Suponha que a função de duas váriaveis
, diferenciável no ponto (1,2), satifaz
e
, onde
e
. Determine:
(b) .
(b)