Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional máxima da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes. Pra resolver isso, precisamos entender como calcular a derivada direcional e usar o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção qualquer a partir de um ponto específico. A fórmula geral é:
Aqui, é o gradiente de e é o vetor unitário que representa a direção escolhida.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, no ponto :
A derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente, e seu valor é o módulo do gradiente. Calculando o módulo de :
A direção em que isso ocorre é na direção do vetor gradiente, ou seja, na direção de . Podemos representar essa direção como um vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional máxima de em é e ocorre na direção de .

Exercícios relacionados

Esboçe a curva de nível de que passa pelo ponto e disenhe o vetor gradiente em :
© .
Determine a derivada direcional de em na direção do vetor
(b) .
Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(b) ;
Suponha que a função de duas váriaveis , diferenciável no ponto (1,2), satifaz e , onde e . Determine:
(b) .