Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular a derivada direcional da função
no ponto
e na direção que forma um ângulo de
radianos. Isso vai envolver cálculo de derivadas parciais e entendimento de vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente, representado por
, é um vetor com as derivadas parciais da função em relação a
e
. Assim:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
No ponto
, substituindo
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor de direção baseado no ângulo
radianos. O vetor de direção
é dado por:
Calculando:
Então,
Passo 4
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente
com o vetor de direção
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é
.
Exercícios relacionados
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
a)
a)
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.
Mostre que
Suponha que
.
está aumentando ou diminuindo em
na direção
?