Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta.
f(x, y) = y e^(-x), (0, 4), theta = 2 pi / 6

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a derivada direcional da função no ponto e na direção que forma um ângulo de radianos. Isso vai envolver cálculo de derivadas parciais e entendimento de vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente, representado por , é um vetor com as derivadas parciais da função em relação a e . Assim:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
No ponto , substituindo e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor de direção baseado no ângulo radianos. O vetor de direção é dado por:
Calculando:
Então,

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor de direção :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

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