Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é aberto no espaço
. Isso está relacionado ao estudo de topologia, que trata das propriedades dos conjuntos que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como aplicar isso a essa expressão matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos desenhar um “pequeno círculo” ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Não há “bordas fechadas” que toquem o conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado:
. Esse é o conjunto de todos os pontos
no plano que estão a uma distância menor que 1 do ponto (0,0). Geometricamente, isso representa o interior de um círculo de raio 1, sem incluir a própria circunferência.
Passo 4
Para verificar se esse conjunto é aberto, vamos pegar qualquer ponto dentro dele, digamos
, onde
. Precisamos encontrar um raio
tal que todos os pontos dentro de uma distância
de
também satisfaçam
.
Passo 5
A distância de
à fronteira do conjunto (a circunferência onde
) é
. Podemos escolher
como metade dessa distância, ou seja,
. Assim, qualquer ponto dentro desse raio ainda estará dentro do conjunto original.
Passo 6
Como conseguimos sempre encontrar esse raio
para qualquer ponto
no conjunto, isso confirma que o conjunto
satisfaz a definição de um conjunto aberto em
.
Resposta
O conjunto
é aberto em
.
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