Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é aberto no espaço . Isso está relacionado ao estudo de topologia, que trata das propriedades dos conjuntos que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como aplicar isso a essa expressão matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos desenhar um “pequeno círculo” ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Não há “bordas fechadas” que toquem o conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: . Esse é o conjunto de todos os pontos no plano que estão a uma distância menor que 1 do ponto (0,0). Geometricamente, isso representa o interior de um círculo de raio 1, sem incluir a própria circunferência.

Passo 4

Para verificar se esse conjunto é aberto, vamos pegar qualquer ponto dentro dele, digamos , onde . Precisamos encontrar um raio tal que todos os pontos dentro de uma distância de também satisfaçam .

Passo 5

A distância de à fronteira do conjunto (a circunferência onde ) é . Podemos escolher como metade dessa distância, ou seja, . Assim, qualquer ponto dentro desse raio ainda estará dentro do conjunto original.

Passo 6

Como conseguimos sempre encontrar esse raio para qualquer ponto no conjunto, isso confirma que o conjunto satisfaz a definição de um conjunto aberto em .

Resposta

O conjunto é aberto em .

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