Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em R^2.
a) {(x, y) | x^2 + y^2 < 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto {(x, y) | x^2 + y^2 < 1} é aberto no espaço R^2. Isso está relacionado ao estudo de topologia, que trata das propriedades dos conjuntos que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e como aplicar isso a essa expressão matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, conseguimos desenhar um “pequeno círculo” ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Não há “bordas fechadas” que toquem o conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: {(x, y) | x^2 + y^2 < 1}. Esse é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano que estão a uma distância menor que 1 do ponto (0,0). Geometricamente, isso representa o interior de um círculo de raio 1, sem incluir a própria circunferência.

Passo 4

Para verificar se esse conjunto é aberto, vamos pegar qualquer ponto dentro dele, digamos (a, b), onde . Precisamos encontrar um raio tal que todos os pontos dentro de uma distância r de (a, b) também satisfaçam .

Passo 5

A distância de (a, b) à fronteira do conjunto (a circunferência onde ) é . Podemos escolher r como metade dessa distância, ou seja, . Assim, qualquer ponto dentro desse raio ainda estará dentro do conjunto original.

Passo 6

Como conseguimos sempre encontrar esse raio r para qualquer ponto (a, b) no conjunto, isso confirma que o conjunto {(x, y) | x^2 + y^2 < 1} satisfaz a definição de um conjunto aberto em R^2.

Resposta

O conjunto {(x, y) | x^2 + y^2 < 1} é aberto em R^2.

Exercícios relacionados