Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente, usando uma soma telescópica. Se for convergente, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar o conteúdo de séries e somas telescópicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para transformar a fração
numa soma telescópica, a gente faz uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Explicando: Estamos igualando os numeradores após eliminar os denominadores para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos a fração decompositada, a série original fica:
Essa é a famosa soma telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 6
Vamos somar os primeiros
termos para ver o padrão:
Observa que
,
, etc., se cancelam, restando apenas:
Passo 7
Agora, vamos tirar o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
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.