Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente, usando uma soma telescópica. Se for convergente, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar o conteúdo de séries e somas telescópicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para transformar a fração numa soma telescópica, a gente faz uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Explicando: Estamos igualando os numeradores após eliminar os denominadores para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos a fração decompositada, a série original fica:
Essa é a famosa soma telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
Observa que , , etc., se cancelam, restando apenas:

Passo 7

Agora, vamos tirar o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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