Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma. sumn=1^infty 1(n+2)(n+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente, usando uma soma telescópica. Se for convergente, também precisamos encontrar o valor da soma. Vamos usar o conteúdo de séries e somas telescópicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para transformar a fração numa soma telescópica, a gente faz uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
1(n+2)(n+3) = An+2 + Bn+3
Agora, multiplicamos ambos os lados por 1 = A(n+3) + B(n+2) para eliminar os denominadores:
Explicando: Estamos igualando os numeradores após eliminar os denominadores para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos resolver para 1 = A(0) + B(-1) implies -B = 1 implies B = -1 e 1 = A(1) + B(0) implies A = 1 . Podemos escolher valores de 1(n+2)(n+3) = 1n+2 - 1n+3 que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos a fração decompositada, a série original fica:
sumn=1^infty ( 1n+2 - 1n+3 )
Essa é a famosa soma telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Vamos somar os primeiros ( 13 - 14 ) + ( 14 - 15 ) + ( 15 - 16 ) + dots + ( 1N+2 - 1N+3 ) termos para ver o padrão:
13 - 1N+3
Observa que , , etc., se cancelam, restando apenas:

Passo 7

Agora, vamos tirar o limite quando limN to infty ( 13 - 1N+3 ) = 13 - 0 = 13 tende ao infinito:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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