Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do ângulo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário na direção do ângulo .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção do ângulo . Um vetor unitário na direção de é dado por:
Substituindo :

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta da região limitada pelas curvas .
(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(a)