(i) Determine o gradiente de f.
(ii) Calcule o gradiente no ponto P.
(iii) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
(a) f(x, y) = x^3 - 4 x^2 y + y^2, P(0, -1), u = <3/5, 4/5>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função no ponto e na direção do vetor . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de gradiente e taxa de variação direcional. Vamos precisar calcular derivadas parciais para encontrar o gradiente e depois usar o gradiente para achar a taxa de variação na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e nas derivadas que encontramos:
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente em é:

Passo 4

Por último, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor . A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor de direção :
Substituindo os valores que temos:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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