(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto
.
(iii) Determine a taxa de variação de
na direção do vetor
.
(a)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
no ponto
e na direção do vetor
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de gradiente e taxa de variação direcional. Vamos precisar calcular derivadas parciais para encontrar o gradiente e depois usar o gradiente para achar a taxa de variação na direção dada.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
nas derivadas que encontramos:
- Para
:
- Para
:
Então, o gradiente em
é:
Passo 4
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor de direção
:
Substituindo os valores que temos:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta
da região limitada pelas curvas
.
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(b)
(b)
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
©
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
©
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(a)
(a)