Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta
da região limitada pelas curvas
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo Integral que envolve o método das cascas cilíndricas. O enunciado pede para encontrar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
ao redor da reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas, identificar os limites de integração e expressar a altura e o raio das cascas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as curvas
e
se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira na segunda:
Resolvendo:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram nos pontos
e
, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo de
a
.
Para
:
-
(obtido de ) está acima de , porque nesse intervalo.
Então, a altura da casca será a diferença entre
e
:
Passo 4
Como vamos usar o método das cascas cilíndricas para rotacionar em torno da reta
, precisamos determinar o raio de cada casca. O raio é a distância vertical da casca até a reta de rotação.
Para um dado
, a casca se estende de
até
. Então, o raio médio pode ser considerado como a distância do ponto médio dessas
até
. Porém, para simplificar, podemos integrar considerando que a distância varia, mas no método das cascas, o raio será a distância do
de cada ponto até
.
Como estamos integrando em relação a
, o raio para cada casca será:
Mas já que
varia entre
e
, e queremos a distância vertical máxima, podemos tomar o
de cada casca como
médio ou usar o método diretamente com a altura.
Na verdade, no método das cascas, ao rotacionar em torno de uma linha horizontal, usamos o endereço vertical até a linha de rotação. Portanto, o raio será
, mas precisamos ajustar isso corretamente na integral.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Onde:
-
e -
(a distância do até ) -
Mas precisamos expressar o raio em termos de
. Como estamos integrando em função de
, vamos considerar o
de cada casca como uma média, ou seja, podemos simplificar tomando o raio como a distância média. No entanto, para uma rotação em torno de
, o raio será
, mas para uma integração mais precisa, podemos tratar cada diferencial adequadamente.
Na verdade, para simplificar, consideramos que o raio para cada casca é
, mas pode-se integrar diretamente com os limites já definidos.
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Substituindo
(da curva inferior):
Expandindo o produto:
Simplificando os expoentes:
Agora, calculamos a integral termo a termo:
Avaliar de 0 a 1:
Calculando os termos:
Encontrando um denominador comum, que é 105:
Resposta
O volume gerado pela rotação é
unidades cúbicas.
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Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(b)
(b)
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
(a)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(a)
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
©
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
©