Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta da região limitada pelas curvas .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo Integral que envolve o método das cascas cilíndricas. O enunciado pede para encontrar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e ao redor da reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas, identificar os limites de integração e expressar a altura e o raio das cascas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as curvas e se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira na segunda:
Resolvendo:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram nos pontos e , vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo de a .
Para :
  • (obtido de ) está acima de , porque nesse intervalo.
Então, a altura da casca será a diferença entre e :

Passo 4

Como vamos usar o método das cascas cilíndricas para rotacionar em torno da reta , precisamos determinar o raio de cada casca. O raio é a distância vertical da casca até a reta de rotação.
Para um dado , a casca se estende de até . Então, o raio médio pode ser considerado como a distância do ponto médio dessas até . Porém, para simplificar, podemos integrar considerando que a distância varia, mas no método das cascas, o raio será a distância do de cada ponto até .
Como estamos integrando em relação a , o raio para cada casca será:
Mas já que varia entre e , e queremos a distância vertical máxima, podemos tomar o de cada casca como médio ou usar o método diretamente com a altura.
Na verdade, no método das cascas, ao rotacionar em torno de uma linha horizontal, usamos o endereço vertical até a linha de rotação. Portanto, o raio será , mas precisamos ajustar isso corretamente na integral.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Onde:
  • e
  • (a distância do até )
Mas precisamos expressar o raio em termos de . Como estamos integrando em função de , vamos considerar o de cada casca como uma média, ou seja, podemos simplificar tomando o raio como a distância média. No entanto, para uma rotação em torno de , o raio será , mas para uma integração mais precisa, podemos tratar cada diferencial adequadamente.
Na verdade, para simplificar, consideramos que o raio para cada casca é , mas pode-se integrar diretamente com os limites já definidos.
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Substituindo (da curva inferior):
Expandindo o produto:
Simplificando os expoentes:
Agora, calculamos a integral termo a termo:
Avaliar de 0 a 1:
Calculando os termos:
Encontrando um denominador comum, que é 105:

Resposta

O volume gerado pela rotação é unidades cúbicas.

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(a)
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