Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o método de soma telescópica, que ajuda a simplificar séries que podem ser escritas como a diferença de termos consecutivos.

Passo 2

Vamos começar simplificando a fração dentro da série. Nosso objetivo é reescrever o termo geral de forma que possamos identificar uma estrutura telescópica.
Temos:
Podemos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, igualamos as duas frações:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para que as frações sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Então, e .

Passo 6

Agora, substituímos e de volta na decomposição inicial:
Isso nos dá:

Passo 7

Agora, vamos reescrever a série separando os termos:
Podemos ajustar os índices para facilitar a observação:

Passo 8

Observamos que as duas séries são harmônicas, mas elas se cancelam parcialmente porque:
Isso significa que a série original pode ser representada como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam entre si.

Passo 9

Na verdade, ao somarmos os termos, percebemos que cada par de termos sucessivos cancela uma parte da série, deixando apenas os primeiros termos. Isso faz com que a série convirja para um valor finito.

Passo 10

Finalmente, ao calcular a soma dos termos que não se cancelam, encontramos que a série converge e sua soma é:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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