Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma: sumn=0^infty 2 n+3(n+1)(n+2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=0^infty 2n + 3(n+1)(n+2)
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o método de soma telescópica, que ajuda a simplificar séries que podem ser escritas como a diferença de termos consecutivos.

Passo 2

Vamos começar simplificando a fração dentro da série. Nosso objetivo é reescrever o termo geral de forma que possamos identificar uma estrutura telescópica.
Temos:
2n + 3(n+1)(n+2)
Podemos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes 2n + 3(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2 e tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 2n + 3 = A(n+2) + B(n+1) e 2n + 3 = An + 2A + Bn + B . Para isso, igualamos as duas frações:
2n + 3 = (A + B)n + (2A + B)
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para que as frações sejam iguais para todo A + B = 2 2A + B = 3 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2A + B) - (A + B) = 3 - 2 A = 1
Substituindo 1 + B = 2 B = 1 na primeira equação:
Então, e .

Passo 6

Agora, substituímos 2n + 3(n+1)(n+2) = 1n+1 + 1n+2 e sumn=0^infty ( 1n+1 + 1n+2 ) de volta na decomposição inicial:
Isso nos dá:

Passo 7

Agora, vamos reescrever a série separando os termos:
sumn=0^infty 1n+1 + sumn=0^infty 1n+2
Podemos ajustar os índices para facilitar a observação:
sumn=1^infty 1n + sumn=2^infty 1n

Passo 8

Observamos que as duas séries são harmônicas, mas elas se cancelam parcialmente porque:
sumn=1^infty 1n + sumn=2^infty 1n = 11 + ( sumn=2^infty 1n + sumn=2^infty 1n )
Isso significa que a série original pode ser representada como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam entre si.

Passo 9

Na verdade, ao somarmos os termos, percebemos que cada par de termos sucessivos cancela uma parte da série, deixando apenas os primeiros termos. Isso faz com que a série convirja para um valor finito.

Passo 10

Finalmente, ao calcular a soma dos termos que não se cancelam, encontramos que a série converge e sua soma é:
Soma = 2

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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