Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o método de soma telescópica, que ajuda a simplificar séries que podem ser escritas como a diferença de termos consecutivos.
Passo 2
Vamos começar simplificando a fração dentro da série. Nosso objetivo é reescrever o termo geral de forma que possamos identificar uma estrutura telescópica.
Temos:
Podemos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, igualamos as duas frações:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Para que as frações sejam iguais para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
e
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
de volta na decomposição inicial:
Isso nos dá:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a série separando os termos:
Podemos ajustar os índices para facilitar a observação:
Passo 8
Observamos que as duas séries são harmônicas, mas elas se cancelam parcialmente porque:
Isso significa que a série original pode ser representada como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam entre si.
Passo 9
Na verdade, ao somarmos os termos, percebemos que cada par de termos sucessivos cancela uma parte da série, deixando apenas os primeiros termos. Isso faz com que a série convirja para um valor finito.
Passo 10
Finalmente, ao calcular a soma dos termos que não se cancelam, encontramos que a série converge e sua soma é:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.
Exercícios relacionados
Determine na elipse
o ponto mais próximo e o mais distante da reta
.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(b)
(b)
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta
da região limitada pelas curvas
.